2.1 开集公理#

设 $X$ 是一个集合，$\tau$ 是 $X$ 的子集族。如果 $\tau$ 满足以下条件，则称 $(X, \tau)$ 为拓扑空间：

1. 空集和全集属于 $\tau$：$\emptyset \in \tau$，$X \in \tau$
2. 任意并封闭：若 $\{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \tau$，则 $\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \in \tau$
3. 有限交封闭：若 $U_1, U_2, \ldots, U_n \in \tau$，则 $\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$

$\tau$ 中的元素称为开集。

2.2 常见拓扑#

3.1 拓扑学中的连续性#

设 $(X, \tau_X)$ 和 $(Y, \tau_Y)$ 是两个拓扑空间，映射 $f: X \to Y$ 是连续的，当且仅当：

即开集的原像仍是开集。

与分析中连续性的关系

这个定义与 $\varepsilon$-$\delta$ 定义等价，但更加抽象和普适。

3.2 同胚映射#

如果 $f: X \to Y$ 满足：

• $f$ 是双射
• $f$ 连续
• $f^{-1}$ 连续

则称 $f$ 是同胚映射，$X$ 和 $Y$ 是同胚的，记作 $X \cong Y$。

4.1 连通性#

连通空间：不能表示为两个非空不相交开集的并。

道路连通：任意两点之间存在连续路径。

关系

道路连通 $\Rightarrow$ 连通，但反之不成立。

4.2 紧致性#

紧致空间：任何开覆盖都有有限子覆盖。

在 $\mathbb{R}^n$ 中：紧致 $\Leftrightarrow$ 有界闭集（Heine-Borel 定理）

4.3 基本群#

基本群 $\pi_1(X, x_0)$ 描述空间中”圈”的本质结构：

5.1 Brouwer 不动点定理#

Brouwer 不动点定理

设 $D^n$ 是 $n$ 维闭球，$f: D^n \to D^n$ 是连续映射，则 $f$ 必有不动点：

$$\exists x \in D^n, \quad f(x) = x$$

应用：证明非线性方程存在解。

5.2 Borsuk-Ulam 定理#

对于任何连续映射 $f: S^n \to \mathbb{R}^n$，存在对径点 $x$ 使得：

趣味解读：地球上存在两个对径点，在同一时刻温度和气压都相同。