2.1 正则性定理#

Lebesgue 可测集的正则性

设 $E \subseteq \mathbb{R}$ 是 Lebesgue 可测集，$m(E) < \infty$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在：

1. 开集 $G \supseteq E$：$m(G \setminus E) < \varepsilon$
2. 闭集 $F \subseteq E$：$m(E \setminus F) < \varepsilon$
3. 有限个开区间的并 $U$：$m(E \triangle U) < \varepsilon$

2.2 直观理解#

可测集可以被开集从外部逼近，被闭集从内部逼近，逼近的精度可以任意高。

2.3 应用示例#

Cantor 集 $C$ 是一个测度为 0 的完备集。对任意 $\varepsilon > 0$，存在开集 $G \supseteq C$，使得 $m(G) < \varepsilon$。

3.1 定理陈述#

Lusin 定理

设 $E \subseteq \mathbb{R}$ 是有限测度的可测集，$f: E \to \mathbb{R}$ 是可测函数。对任意 $\varepsilon > 0$，存在闭集 $F \subseteq E$，使得：

1. $m(E \setminus F) < \varepsilon$
2. $f|_F$ 是连续的

3.2 证明思路#

构造方法：

1. 用简单函数逼近 $f$：$s_n \to f$ 点态
2. 由 Egorov 定理，存在 $E_n$ 使得 $s_n \to f$ 在 $E \setminus E_n$ 上一致收敛
3. 一致极限保持连续性
4. 适当选取 $F$，使 $f|_F$ 连续

3.3 经典例子#

Dirichlet 函数 $D(x) = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ 处处不连续，但在 $[0,1]$ 的任意 $\varepsilon$-子集上是连续的（因为该子集不含有理数时 $D \equiv 0$）。

4.1 定理陈述#

Egorov 定理

设 $E$ 是有限测度的可测集，$\{f_n\}$ 是 $E$ 上的可测函数列，且 $f_n \to f$ 几乎处处。对任意 $\varepsilon > 0$，存在可测集 $A \subseteq E$，使得：

1. $m(E \setminus A) < \varepsilon$
2. $f_n \to f$ 在 $A$ 上一致收敛

4.2 证明#

步骤 1：定义

步骤 2：对固定 $k$，$E_1^k \subseteq E_2^k \subseteq \cdots$，且 $\bigcup_n E_n^k = E$（几乎处处收敛）。

步骤 3：由测度连续性，$m(E_n^k) \to m(E)$。选 $n_k$ 使得 $m(E \setminus E_{n_k}^k) < \varepsilon/2^k$。

步骤 4：令 $A = \bigcap_k E_{n_k}^k$，则 $m(E \setminus A) < \varepsilon$，且 $f_n \to f$ 在 $A$ 上一致收敛。$\square$

4.3 反例：无穷测度情形#

在 $\mathbb{R}$ 上，$f_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}$ 点态收敛到 0，但在任何正测度集上都不能一致收敛（可构造反例）。

5.1 核心思想#

三原理的本质是：测度论对象与经典分析对象之间只有”零测集”的差异。

5.2 哲学意义#

Littlewood 评论：“测度论中没有真正新的困难，只有原有困难的’几乎处处’版本。“

6.1 Riemann 可积性判别#

定理

有界函数 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ Riemann 可积当且仅当其不连续点集是零测集。

这正是第二原理的体现：Riemann 可积函数”几乎”连续。

6.2 Fourier 级数收敛#

Carleson 定理：$L^2$ 函数的 Fourier 级数几乎处处收敛。

由 Egorov 定理，在任意小测度集的补集上，收敛是一致的。